10進数(decimal number)

「位取り」の発明

"Dで千，"C"で百，"B"で十，"A"で一を表すものとすると， たとえば1234という数は "DCCBBBAAAA"と表すことができる．

[課題]この記法を用い1234 + 56 を計算してみよ．また， 12 * 34 を計算してみよ．

普段何気なく使っている10進数であるが，各数字はその大きさだけではなく， その「位置」が特定の位(rank)を表す．たとえば，

   1234

と表記した時，1は1000(=10の3乗)の位を，2は100(=10の2乗)の位を表す．つまり， 隣り合う桁において，上位の桁は下位の桁の「10」倍の意味を持つ．

もう一つの発明は「桁上げ」(carry)で，位取りの考え方から自然に生まれたものである． たとえば，10進数で，

  10

と表記すると何を意味するのだろうか．0,1,...,9と続いき，次はまた，0に戻る． この時，つまり9に1を加えると，0になり，同時に，桁が一つ上がり，その時の１が 左側に付く．この"10"を，我々は「イチゼロ(one zero)」と呼ばないで， 「ジュウ(ten)」と呼ぶ．しかし，それは我々が10進数の世界に住んでいるからであり， そうでない世界（他の進数表記の世界）では，呼び名が無いか，あっても異なる呼び名と なるはずである．

桁上げを利用することで，次のような計算は簡単に記述できる．

    123
  ＋ 39
  ------
    162

3と9を足したとき，桁上がりが生じ，それ(1)が十の位の加算(2+3)の結果に 加えられる．

ちなみに，数(number)という時は，たとえば，1954や3.14など．一方，数字(digit)と いう時は，0から9までの文字を表す．

例：

• 1000-1の値は？
• 999+1の値は？
• 123の10倍は？
• 123の10分の1は？
• 512₍₁₀₎を順次10で割り，その余りを逆順に並べ最後に残った答えを先頭に付けたものがやはり 512になるのはどうしてか？
• 3.14の1，4はそれぞれいくつの位を表しているか？

2進数(binary number)

  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

  0, 1

  101(2)

  101(2) = 1*22 + 0*21 + 1*1 = 5(10)

桁上がりの扱いも，10進数の場合とまったく同様に考えればよい．つまり，0,1,の次は 2ではなく，10となる．これは，0,1の次はまた0に戻り，しかし，桁が1つ上がったので 左に1が付く．これはジュウとは読まない．呼び方がないので，単純にイチゼロと読むしかない．

   1101
  +  11
  ------
  10000

例：

• 101を2倍するとどうなるか？
• 1100の2分の一はどうなるか？
• 11111+1はいくつか？
• 1000-1はいくつか？
• 34₍₁₀₎を2進数で表わすとどうなるか？
• 1101₍₂₎を10進数で表すとどうなるか？
• 11.1₍₂₎は10進数でいくつになるか？
• 3.75₍₁₀₎は2進数で表すとどうなるか？
• 5進数で，九九と同じような表を作ってみよう．

16進数(hexadecimal number)

     0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D ,E, F

たとえば，1AC₍₁₆₎は10進数で考えるといくつになるか．16進数では 各桁は右から，1，16，16の2乗(256)，16の3乗，．．を表す．したがって，

　1AC(16) = 1*162 + A*16 + C = 1*256 * 10*16 * 12 = 428(10)

例：

• 3A₍₁₆₎の256倍を16進数で表しなさい．
• 100₍₁₆₎-1を16進数で表しなさい．
• FF₍₁₆₎+1を16進数で表しなさい．

16進数と2進数との間には次のような関係がある． 「2進数表記を4ビット単位で分割し， それぞれを16進表記したものを順番に並べできる16進数は， 元の2進数と値が同じである」．これは何故か？

  例： 10110101(2) = B5(16)

8進数(octal number)

  0,1,2,3,4,5,6,7

  17(8) = 1*8 + 7 = 15(10)